Préchauffez votre four à 150 °C ( 300°F) et tapissez votre plat à rôtir de papier sulfurisé.
Massez l'épaule d'agneau avec de l'huile d'olive et assaisonnez-la avec un peu de sel et de poivre avant de la faire dorer entièrement dans une grande poêle à feu moyen-vif... cela devrait prendre environ 10 minutes. Transférer l'agneau dans un plat à rôtir, couvrir de papier d'aluminium et cuire pendant 2 heures.
Pendant ce temps, faites fondre le beurre dans une grande casserole à feu moyen. Remuer constamment pendant 2-3 minutes jusqu'à ce que le beurre bouillonne et soit doré. Retirer du feu et incorporer le miel et le vinaigre balsamique.
Frottez les moitiés de courge musquée avec de l'huile et ajoutez-les (côté coupé vers le bas) dans le plat à rôtir préparé, et faites rôtir ensemble pendant 30 minutes avant de retirer la plaque du four et, à l'aide d'un couteau bien aiguisé, faites des coupes en hasselback dans la peau de la courge musquée. ... aller aussi profondément que possible sans trancher complètement la peau et se retrouver avec plusieurs morceaux. Saupoudrer l'agneau et la courge de romarin haché et arroser d'1/3 du beurre au miel balsamique. Couvrir l'agneau de papier d'aluminium et remettre la plaque au four pendant 2 heures, en arrosant à nouveau à mi-cuisson et en retirant le papier d'aluminium de l'agneau pour les 30 dernières minutes de cuisson.
Retirer du four et transférer l'agneau sur une planche à découper, en arrosant du reste de beurre balsamique et en laissant reposer sous du papier d'aluminium pendant 15 minutes avant de servir.
Servir sur une assiette avec un accompagnement de haricots verts cuits à la vapeur.